Получив первую премию на Конкурсе дирижеров имени Рахманинова в 1973 году, когда Бычков приближался к окончанию Ленинградской консерватории в 1974 году, его пригласили дирижировать Ленинградским филармоническим оркестром, что было редкой честью для студента. Однако дата сначала была отложена, а затем отменена, когда советские власти узнали, что молодой еврейский музыкант, хотя и не был активным диссидентом, был политически неприемлем. «Было ясно, что двери будут закрыты для меня», — вспоминал Бычков. «Мне нужно было уехать». К его удивлению, ему выдали выездную визу через месяц после подачи заявления, и в 1975 году он оказался в Америке, где оставался в течение следующих четырнадцати лет.
Бычков поступил в качестве студента-дирижера в Музыкальный колледж Маннеса в Нью-Йорке, где был назначен главным дирижером студенческого оркестра после победы в Конкурсе дирижеров Джино Маринуцци в Италии. В 1980 году он был назначен главным дирижером Симфонического оркестра Гранд-Рапидс, с которым он оставался пять лет, прежде чем занять ту же должность в Филармоническом оркестре Буффало, с которым он оставался четыре сезона, до 1989 года. Хотя эти назначения позволили ему постепенно развиваться как дирижеру, он также оказался в центре внимания международной музыкальной общественности благодаря серии замен в последний момент. Осенью 1984 года, после его официального европейского дебюта на фестивале в Экс-ан-Провансе, он заменил Бернарда Хайтинка с Оркестром Концертгебау в Амстердаме, а вскоре после этого выступил с Нью-Йоркским филармоническим оркестром, заменяя Рафаэля Кубелика. В начале следующего года Бычков дебютировал с Берлинским филармоническим оркестром, заменив Риккардо Мути за два дня до выступления, дирижируя произведениями Прокофьева и Шостаковича: эти выступления были настолько успешными, что оркестр сразу же пригласил его для будущих выступлений. Кроме того, он подписал контракт с Philips и записал Симфонию № 5 Шостаковича с Берлинским филармоническим оркестром, диск, который получил высокую критическую оценку. За этим последовали дальнейшие записи.
В 1989 году Бычков покинул Буффало, чтобы стать главным дирижером Оркестра Парижа, сменив Даниэля Баренбойма. Он оставался в Париже до 1998 года, совмещая эту должность с назначениями в качестве главного приглашенного дирижера Санкт-Петербургского филармонического оркестра (1990–1994) и Маггио Музикале во Флоренции (1992–1998), где он дирижировал постановками Фиеррабрас Шуберта и Леди Макбет Мценского уезда Шостаковича, каждая из которых была удостоена престижной итальянской премии Аббиати. В 1990-е годы Бычков часто дирижировал оперой, выступая в Чикаго, Париже, Гамбурге, Мюнхене, Милане и Вене, а также на фестивале в Экс-ан-Провансе. С начала сезона 1997–1998 годов он работал в Кельне в качестве главного дирижера Симфонического оркестра Западногерманского радио, с которым он гастролировал на Дальний Восток, а также в Северную и Южную Америку. Между 1999 и 2002 годами он также служил главным дирижером Дрезденской государственной оперы, где он руководил произведениями Вагнера, Рихарда Штрауса и Шостаковича.
Интерпретационный стиль Бычкова отмечен богатым чувством лирической линии и бурным ритмическим пульсом, который он сочетает с широким диапазоном контрастов в динамике и тембровой окраске. Возможно, он еще не полностью реализовал обещание своих ранних лет как международного дирижера, и после ряда отличных записей он стал менее активен в студии звукозаписи. Среди его самых заметных записей — произведения Дютийё, Рахманинова, Шостаковича, Рихарда Штрауса и Чайковского. По темпераменту и обучению Бычков способен выдавать отличные исполнения русского репертуара, а также драматические постановки опер. Он также много записывался с сестрами Лабек, одна из которых, Мариэль, является его женой.
